Pierre-Simon
Laplace
23 mars 1749 - 5 mars 1827
Cette page dédiée à l'oeuvre
Laplace a été composée à l'occasion du
250ème anniversaire de sa naissance
Qui est-il ?
Ce grand savant français, né en Normandie à
Beaumont en Auge,
a profondément influencé les mathématiques, l'astronomie, la physique et la philosophie des sciences de son siècle.
Après des études brillantes à l'Université
de Caen de 16 à 18 ans, il obtient avec le soutien de d'Alembert
un poste à l'Ecole
militaire. Ses travaux en mathématiques et astronomie lui valent
d'entrer à 24 ans à l'Académie
des Sciences, où l'étendue de son savoir fait impression.
Son travail vers 1782 avec Lavoisier sur la calorimétrie, sa théorie
de la capillarité et ses formules d'électromagnétisme
ancrent sa réputation parmi les chimistes et physiciens.
L'essentiel de son oeuvre scientifique s'attache à fournir un fondement solide à sa théorie de mécanique céleste, traitant de la stabilité du système solaire, de son origine, et qui motivera en partie sa théorie des probabilités.
Il participa à l'organisation de l'Ecole Polytechnique et de l'Ecole Normale.
Il fonda avec Berthollet la Société d'Arcueil, creuset de rencontre entre jeunes physiciens et chimistes éminents et scientifiques proches du pouvoir.
Politiquement opportuniste, il saura s'attirer aussi bien les faveurs de Napoléon que par la suite celles de Louis XVIII qui le fit pair et marquis.
Pour en savoir plus sur la biographie de Laplace, vous pouvez consulter l'excellente archive d'histoire des maths de MacTutor, à moins que vous ne préfériez ce résumé ou celui de l'encyclopédie catholique.
Les non anglophones pourront consulter cette biographie en français.
Vous pouvez aussi acheter ce livre consacré à Laplace (le site vous offre un joli portrait en couleurs).
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Les travaux de Laplace aujourd'hui
Sans pouvoir être exhaustif, nous mentionnons ci-dessous un grand nombre de domaines où les travaux de Laplace sont utilisés aujourd'hui.
Imagerie :
C'est l'opérateur Laplacien discrétisé qui permet en imagerie d'extraire les contours d'objets photographiés.
En voici un exemple sur un portrait de Laplace lui-même, parmi d'autres exemples :
-----> 
Laplacien discret
Allez voir l'utilisation de cette possibilité dans les logiciels
actuels de retouche d'image : 1
2
La même technique permet de casser des codes secrets cachés dans des pixels isolés de certaines images (voir par exemple cette page)
Pêche aux étrilles et bigorneaux :
C'est depuis les études très précises de Laplace sur l'attraction lunaire et solaire que l'on peut aujourd'hui prévoir les
horaires des marées, utiles à la marine en général, ainsi qu'aux baigneurs et ramasseurs de coquillages.
Avionique :
En avionique, la transformation de Laplace est utilisée pour
calculer le déplacement latéral des avions, comme le
montre cet
article des archives de la nasa.
Dans sa "collection Laplace", la société
Boeing
conserve des données actuelles sur les équations aux différences
finies du type étudié par Laplace.
Recensement, sondages :
1999 : le dernier recensement du siècle ! La méthode exhaustive utilisée cette année va céder la place à une méthode par échantillonnage, déjà préconisée par Laplace.
Finance :
Les calculs de finances utilisent aujourd'hui la transformation de Laplace : en voici un exemple.
Ingéniérie océanique :
Les calculs d'écoulement utilisés en ingéniérie océanique reposent sur l'équation de Laplace.
Géologie :
La Transformation de Laplace a permis la mise au point d'un
Simulateur
rapide de contamination des nappes phréatiques
L'étude de la pression des geysers est liée à la pression de vapeur dans les roches poreuses. La loi de Laplace permet les calculs et la simulation de ces phénomènes géothermiques étudiés aujourd'hui
Astronomie :
Si Laplace avait pressenti l'existence de trous noirs, ils sont aujourd'hui
étudiés
et observés intensivement.
Mathématiques :
Les outils inventés par Laplace sont aujourd'hui des objets de recherche mathématique. On en étudie des généralisations (opérateurs dans des algèbres de Lie), on teste des algorithmes de calcul toujours plus rapides.
Ils sont également utilisés intensivement dans beaucoup de domaines des mathématiques, comme les méthodes de maillage ou la théorie des nombres (par exemple la distribution des nombres premiers), ce qui aurait peut être étonné Laplace.
Ses études sur la capillarité sont liées à la théorie aujourd'hui en vogue des surfaces minimales
Médecine :
Malgré le peu de considération que Laplace semblait avoir des médecins, la médecine a aussi su profiter de ses travaux. On trouve ainsi des applications de la loi de Laplace sur la capillarité en cardiologie, une application de la loi de pression de Laplace aux anévrismes de l'aorte,
ainsi que l'application de son Laplacien à la visualisation d'images 3D en tomographie
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Productions mathématiques
Les découvertes mathématiques de Laplace reposent sur son insatiable besoin de confronter avec une grande précision les prévisions théoriques et la mesure pratique des phénomènes physiques. La théorie des probabilités montre la nécessité de ne pas se contenter de mesures isolées. Les méthodes d'approximation, de résolution d'équations différentielles, d'équations algébriques linéaires sont autant d'instruments pour calculer et expliquer des phénomènes compliqués ou apparemment marginaux observés, ou pour en prédire.
Probabilités :
Citation de Laplace dans l'introduction de sa théorie des probabilités : Les questions les plus importantes de la vie ne sont en effet, pour la plupart, que des problèmes de probabilité.
Les contributions de Laplace dans ce domaine concernent :
La formule de probabilité des causes (dite formule de Bayes). C'est dans ce cadre que Laplace milite, dans son mémoire sur les naissances, les mariages et les morts, pour les méthodes probabilistes rigoureuses de recensement, contre des arguments polémiques.
Elle donnera aussi un fondement à son hypothèse nébuleuse, cause commune expliquant les similarités des mouvements des planètes.
La formule de succession de Laplace
Le théorème central limite de Laplace (1812) : une moyenne de variables aléatoires de même loi tend vers une gaussienne si le nombre de variables tend vers l'infini. Ceci étend un résultat de de Moivre. Pour en savoir plus
Voici un lien vers le texte complet de la théorie analytique des probabilités.
Laplacien, équation de Laplace, théorie du potentiel :
L'opérateur laplacien mesure les irrégularités dans les valeurs d'une fonction : une fonction "assez régulière" est de laplacien nul. L'importance de l'équation de Laplace (annulation du laplacien) a été remarquée dès le départ par Laplace dans l'étude de problèmes de gravitation. Il a également utilisé le laplacien pour des problèmes de diffusion de la chaleur et de propagation des ondes. Il intervient aujourd'hui en imagerie. Il permet également de définir la courbure d'une surface et d'étudier les surfaces minimales.
Pour en savoir plus sur le laplacien.
Equations différentielles et aux différences finies :
De très nombreux travaux de Laplace concernent la résolution d'équations différentielles, certaines provenant de ses recherches en astronomie, électromagnétisme, capillarité, etc.
Transformation de Laplace :
Pour résoudre certaines équations différentielles, Laplace o proposé une méthode utilisant des formules intégrales ramenant parfois un problème d'équation différentielle à des équations algébriques, plus faciles à résoudre.
Pour en savoir plus voir ici un petit résumé en français, un autre plus technique
en anglais et un site plus développé en français sur les transformations de Stieljes-Laplace et leurs applications en théorie des nombres.
méthode d'approximation :
Le terme de méthode d'approximation de Laplace recouvre deux choses : une méthode de résolution d'équations différentielles par approximations successives, et une méthode d'approximation asymptotique de certaines intégrales. Pour en savoir plus sur ce dernier point, cliquer ici.
Constante limite de Laplace :
Ce nombre Lambda=0,662743... est lié à l'équation de Kepler M=E - u sin(E), décrivant l'orbite des planètes. C'est la valeur limite de convergence de la solution E de cette équation comme série en u.
Pour en savoir plus, consultez ce site détaillé.
Déterminants :
Lors de l'étude d'équations différentielles linéaires, Laplace a donné en 1772 une formule de calcul des déterminants par le développement, en termes de mineurs, qui porte son nom.
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Travaux en physique et chimie
Calorimétrie :
Laplace créa avec Lavoisier un appareil permettant de mesurer précisément
quantités de chaleur des corps. Ils purent ainsi mettre en évidence les lois
générales de la calorimétrie.
Electromagnétisme :
La "force de Laplace" appliquée à un fil conducteur parcouru par un courant et placé dans un champ magnétique est à la base des moteurs électriques. Voyez l'applet java décrivant le fonctionnement d'un tel moteur.
Capillarité et loi de pression :
Vous êtes-vous déjà demandé pourquoi un petit tube plongé dans l'eau semble aspirer cette eau, et pourquoi on peut remplir un verre d'eau un peu plus haut que le bord sans faire déborder ? pourquoi les "yeux" dans le bouillon semblent se repousser ? pourquoi une planche posée sur l'eau résiste à être "décollée" de la surface ? La plupart des explications se trouvent dans les travaux de Laplace sur la capillarité.
La formule de Laplace exprime comment la tension d'une paroi mince est liée à la différence de pression entre ses deux faces et à la courbure de la paroi.
Elle est liée à l'étude des surfaces minimales.
C'est encore à Laplace que l'on doit des études théoriques sur la mesure barométrique de l'altitude.
Vitesse du son :
Laplace fut le premier à expliquer la différence de 10% entre la vitesse du son mesurée et les prédictions newtonniennes : elle tenait à l'influence de la modification de température le long de l'onde sonore.
Les marées :
En lien avec la théorie de gravitation de la lune, Laplace étudia avec une très grande précision le phénomène des marées.
Pour en savoir plus sur l'équation de marée, voyez l'article "Laplace" dans cette page
Système métrique :
Laplace participa à la mise en place du système métrique en France.
Il présenta au Sénat le rapport sur la nécessité de revenir au calendrier grégorien.
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Contributions à l'astronomie
C'est le domaine de prédilection de Laplace, qui motive ses études sur les équations différnetielles, l'approximation des intégrales, le calcul des probabilités, etc.
Ses résultats sont à la fois très profonds et nombreux. Il pousse l'approximation à un degré bien supérieur aux travaux de ses prédécesseurs, permettant ainsi d'expiquer et prévoir des phénomènes secondaires par rapport aux modèles de l'époque et de les confronter à une observation de plus en plus précise et rigoureuse.
Il étudie entre autres les perturbations des satellites de Jupiter, la stabilité des anneaux de Saturne, le lien entre l'attraction des sphéroïdes et la forme des planètes, l'action de la lune sur l'atmosphère et sur les marées, le phénomène de libration de la lune, la précession des équinoxes, les orbites des comètes, les variations séculaires des orbites des planètes, etc.
Trous noirs :
Laplace analyse en 1794 l'existence possible de trous noirs newtoniens, corps assez massifs pour avoir une vitesse de libération supérieure à la vitesse de la lumière.
Stabilité du système solaire :
La croissance apparemment éternelle de l'orbite de Saturne fut expliquée par Laplace, qui reconnut un phénomène à très longue période et montra qu'aucune intervention divine n'était nécessaire pour éviter la dislocation du système solaire dans les prochains siècles.
Les travaux de Laplace sur la stabilité du système solaire sont mentionnés dans le roman de Jules Verne "de la terre à la lune" :
D'autres, appartenant a la race des trembleurs, manifestaient
certaines craintes a l'endroit de la Lune; ils avaient entendu
dire que, depuis les observations faites au temps des Califes, son
mouvement de révolution s'accélerait dans une certaine proportion;
ils en déduisaient de là, fort logiquement d'ailleurs, qu'à une
accélération de mouvement devait correspondre une diminution dans
la distance des deux astres, et que, ce double effet se
prolongeant a l'infini, la Lune finirait un jour par tomber sur la
Terre.
Cependant, ils durent se rassurer et cesser de craindre pour les
générations futures, quand on leur apprit que, suivant les calculs
de Laplace, un illustre mathématicien français, cette accélération
de mouvement se renferme dans des limites fort restreintes, et
qu'une diminution proportionnelle ne tardera pas a lui succéder.
Ainsi donc, l'équilibre du monde solaire ne pouvait être dérangé
dans les siècles a venir.
Il est intéressant de lire le texte écrit un siècle plus tard par Poincaré sur la stabilité du système solaire.
Hypothèse nébuleuse :
Indépendamment de Kant, Laplace chercha à expliquer les similitudes de mouvements des planètes et satellites (sens de rotation, excentricité, plan de trajectoire) par une cause commune : l'évolution "à partir d'une sphère de matière diffuse, homogène, entourant le soleil..."
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Apports à la philosophie
Déterminisme :
Laplace consacra sa carrière à convaincre que la théorie de gravitation de Newton était suffisante pour résoudre, jusque dans les déails, tous les problèmes qui la concernaient, et constituait bien l'essence du "vrai système du monde".
Dans l'introduction de sa théorie analytique des probabilités, Laplace écrit : "Nous devons envisager l'état présent de
l'univers comme l'effet de son état antérieur
et comme la cause de celui qui va suivre. Une
intelligence qui, pour un instant donné,
connaîtrait toutes les forces dont la nature
est animée et la situation respective des
êtres qui la composent, si d'ailleurs elle
était assez vaste pour soumettre ces données à
l'analyse, embrasserait dans la même formule
les mouvements des plus grands corps de
l'univers et ceux du plus léger atome; rien ne
serait incertain pour elle, et l'avenir, comme
le passé, serait présent à ses yeux. "
Cette conception a été à l'origine d'un grand courant de pensée philosophique.
Voir parmi d'autres le commentaire de Garaudy dans son livre "l'Avenir, mode d'emploi"
C'est encore cette idée qui est à l'origine de sa célèbre réplique à Napoléon.
Mais il est conscient des limites du déterminisme lorsqu'il prône l'usage des probabilités pour pallier notre capacité limitée à appliquer la méthode analytique.
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Enseignement et vulgarisation
L'apport de Laplace à la diffusion de la science est considérable.
Après quelques années d'enseignement à l'Ecole Royale Militaire, il assure la diffusion de l'état des connaissances scientifiques dans les nombreux domaines qu'il abordait, par ses rédactions monumentales à 2 facettes, technique et didactique. Ainsi le traité de mécanique céleste est-il précédé de l'Exposition du système du Monde, et sa théorie analytique des probabilités suit un essai philosophique sur les probabilités.
Ses leçons de mathématiques à l'Ecole Normale, trop courtes à son gré (voir l'introduction de ses leçons de probabilités), sont l'occasion de conseiller sur la façon d'enseigner.
Pour la première fois, l'instruction publique est directement abreuvée des dernières connaissances scientifiques par les savants eux-mêmes.
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Laplace et Napoléon
En tant qu'examinateur du Corps Royal d'artillerie, Laplace fit passer avec succès le test en 1785 à un jeune homme de 16 ans : Napoléon Bonaparte.
Laplace est nommé ministre de l'intérieur par Napoléon, puis sénateur. C'est également Napoléon qui le nomme Comte de l'Empire.
La carrière de ministre de Laplace sera courte (6 semaines ?), et Napoléon le démettra rapidement pour les raisons qu'il expose dans ses mémoires : "Géomètre de premier rang, Laplace ne tarda pas à se montrer administrateur plus que médiocre; dès son premier travail nous reconnûmes que nous nous étions trompé. Laplace ne saisissait
aucune question sous son véritable point de vue: il cherchait des subtilités partout, n'avait que des idées problématiques, et portait enfin l'esprit des `infiniment petits' jusque dans l'administration."
Mais la versatilité politique de Laplace finira par l'emporter et lui faire signer le décret de bannissement de Napoléon à la chute de celui-ci en 1814.
Rapporté par Victor Hugo :
«M. Arago avait une anecdote favorite. Quand Laplace eut publié sa Mécanique céleste,
disait-il, l'empereur le fit venir. L'empereur était furieux. " ? Comment, s'écria-t-il en apercevant Laplace, vous fait tout le système du monde, vous donnez les lois de toute la création et dans tout votre livre vous ne parlez pas une seule fois de l'existence de Dieu ! Sire, répondit Laplace, je n'avais pas besoin de cette hypothèse."»
Remarque de Laplace à Napoléon, après que celui-ci a rapporté quelques résultats nouveau de géométrie élémentaire : "la dernière chose que nous attendions de vous, Général, est une leçon de géométrie !"
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Notes
Voici un extrait de "l'introduction à la médecine expérimentale" de Claude Bernard :
Le désir que j'exprime ici répondrait à peu près à la pensée de Laplace, à qui on demandait pourquoi il avait proposé de mettre des médecins à l'Académie des sciences puisque la médecine n'est pas une science: "C'est, répondit-il, afin qu'ils se trouvent avec des savants. "
Commentaire de Laplace sur la théorie des nombres :
Il est fort remarquable que les grandes découvertes dont
l'analyse s'est enrichie dans ce siècle aient peu influé sur la théorie des nombre. Au reste, ces
recherches ne sont jusqu'ici que de pure curiosité, et je ne
conseille de s'y livrer qu'à ceux qui en ont le loisir. Cependant, il est
bon de les suivre ; elles fournissent d'excellents modèles
dans l'art de raisonner ; d'ailleurs on en fera un jour peut
être des applications importantes.
Conseils de Laplace sur l'enseignement :
Il ne faut donc pas dans
l'enseignement insister sur ce qui peut manquer encore
à la rigueur des preuves que l'on en donne, et l'on doit
abandonner cette discussion aux métaphysiciens géomètres,
du moins jusqu'à ce qu'elle ait été suffisamment éclaircie
pour ne laisser aucun nuage dans l'esprit des commençants.
Les sciences même les plus exactes renferment quelques
principes généraux que l'on saisit par une sorte d'instinct
qui ne permet pas d'en douter, et auquel il est bon de se livrer d'abord. Après les avoir suivis dans toutes
leurs conséquences, et s'être fortifié l'esprit par un long exercice dans l'art de raisonner, on peut, sans
danger, revenir sur ces principes, qui se présentent alors dans un plus grand jour ; et l'on risque moins de
s'égarer, en cherchant à les démontrer avec rigueur. Si l'on insiste trop en commençant, sur l'exactitude de
leurs démonstrations, il est à craindre que de vaines subtilites ne produisent de fausses idées, qu'il
est très difficile ensuite de rectifier... Cependant, s'il est utile d'écarter
les subtilités d'une fausse métaphysique, il importe également d'accoutumer l'esprit à n'accorder une entière
confiance qu'aux choses parfaitement prouvées.
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